說明
若一個函數 $f$ 對每個其定義域中的 $x$ 都有 $f(-x)=f(x)$，則稱此函數為偶函數。由此定義可知其函數的函數圖形左右對稱於 $y$ 軸。偶函數的例子有 $f(x)=x^2$，$f(x)=\cos(x)$
而若一個函數 $f$ 對每個其定義域中的 $x$ 都有 $f(-x)=-f(x)$，則稱此函數為奇函數，其函數圖形點對稱於原點。奇函數的例子有 $f(x)=x^3$，$f(x)=\sin(x)$
給定一個函數，可以將其表示成奇函數與偶函數之和，且其表示法是唯一的。假設 $O(x)$ 是奇函數、 $E(x)$ 是偶函數，由定義可列出：
$$
\left\{\begin{aligned}
f(x)&=E(x)+O(x)\\
f(-x)&=E(x)-O(x)
\end{aligned}\right.
$$
可得：
$$
\begin{aligned}
O(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\\
E(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}
\end{aligned}
$$
接下來證明其唯一性。假設 $f(x)$ 除了 $O_1(x)+E_1(x)$ 之外，還可寫成 $O_2(x)+E_2(x)$，也就是 $O_1(x)+E_1(x)=O_2(x)+E_2(x)$。得 $$ \begin{aligned}g(x)&=O_1(x)-O_2(x)\\&=E_2(x)-E_1(x)\end{aligned} $$ 容易看出 $g(x)$ 同時為奇函數與偶函數，也就是 $g(x)=0$（若函數 $f$ 同時為奇函數與偶函數，即 $f(-x)=f(x)=-f(x)$，易得 $f(x)=0$）。如此，由上式即可得 $O_1(x)=O_2(x)$ 與 $E_1(x)=E_2(x)$。所以這兩種寫法是相同的，也就是只有一種寫法。